מחשבון וקטור העתקה

מחשבון וקטור העתקה - חישוב מרחק וכיוון

📐 חשבו וקטור העתקה, גודל, זווית כיוון ורכיבים. המחישו תנועה במרחב דו־ממדי ותלת־ממדי עם הסברים צעד-אחר-צעד.

מהי העתקה?

העתקה היא גודל וקטורי שמייצג שינוי במיקום של גוף. זהו המרחק בקו ישר מהמיקום ההתחלתי למיקום הסופי, ללא קשר למסלול שעברתם בפועל.

נוסחת העתקה

העתקה דו־ממדית (2D):

Δr = ⟨Δx, Δy⟩ = ⟨x₁ - x₀, y₁ - y₀⟩

העתקה תלת־ממדית (3D):

Δr = ⟨Δx, Δy, Δz⟩ = ⟨x₁ - x₀, y₁ - y₀, z₁ - z₀⟩

גודל (מרחק)

2D:

|Δr| = √(Δx² + Δy²)

3D:

|Δr| = √(Δx² + Δy² + Δz²)

זווית כיוון

זווית 2D מציר X:

θ = arctan(Δy/Δx)

• נמדדת נגד כיוון השעון מציר X החיובי
• טווח: ‎-180° עד ‎+180° (או 0° עד 360°)
• השתמשו ב-atan2(Δy, Δx) לקבלת רבע נכון

וקטור יחידה

וקטור יחידה הוא בעל גודל 1 ומצביע לכיוון ההעתקה:

û = Δr / |Δr|

דוגמאות חישוב

דוגמה 1: תנועה אופקית

• התחלה: (0, 0), סוף: (10, 0)
• העתקה: ⟨10, 0⟩ m
• גודל: 10 m
• כיוון: 0° (מזרח)

דוגמה 2: תנועה אלכסונית

• התחלה: (2, 1), סוף: (7, 5)
• העתקה: ⟨5, 4⟩ m
• גודל: √(5² + 4²) = 6.40 m
• כיוון: arctan(4/5) = 38.66°

דוגמה 3: תנועה תלת־ממדית

• התחלה: (1, 2, 3), סוף: (4, 6, 8)
• העתקה: ⟨3, 4, 5⟩ m
• גודל: √(3² + 4² + 5²) = 7.07 m

העתקה לעומת מרחק

הבדלים עיקריים:

• העתקה: וקטור (גודל + כיוון), קו ישר, יכולה להיות אפס
• מרחק: סקלרי (גודל בלבד), אורך מסלול כולל, תמיד חיובי

דוגמה: אם הלכתם 5 מ׳ מזרחה ואז 5 מ׳ מערבה:

• מרחק שעברתם: 10 m
• העתקה: 0 m (חזרה להתחלה)

יישומים בעולם האמיתי

• ניווט: GPS מחשב העתקה ליעד
• פיזיקה: מהירות = העתקה / זמן
• הנדסה: ניתוח עיוותים מבניים
• רובוטיקה: תכנון מסלול ומעקב מיקום
• ספורט: ניתוח תנועת שחקנים
• תעופה: נתיבי טיסה וניווט

כיווני מצפן

• N (צפון): 90° (ציר Y החיובי)
• E (מזרח): 0° (ציר X החיובי)
• S (דרום): -90° או 270° (ציר Y השלילי)
• W (מערב): ±180° (ציר X השלילי)
• NE: 45°, SE: -45°, SW: -135°, NW: 135°

חיבור וקטורים

ניתן לחבר מספר העתקות:

Δr_total = Δr₁ + Δr₂ + Δr₃ + ...

דוגמה: הלכו 3 מ׳ מזרחה ואז 4 מ׳ צפונה

• Δr₁ = ⟨3, 0⟩, Δr₂ = ⟨0, 4⟩
• סה״כ: ⟨3, 4⟩, גודל: 5 m, כיוון: 53.13° (צפון־מזרח)

תכונות חשובות

• גודל ההעתקה ≤ המרחק שעברתם (שוויון רק במסלול ישר)
• העתקה יכולה להיות שלילית (רכיבים יכולים להיות שליליים)
• העתקה אפס ≠ אין תנועה (אפשר לחזור להתחלה)
• העתקה אינה תלויה במסלול (רק התחלה וסוף חשובים)

טעויות נפוצות

• בלבול בין העתקה למרחק — אלו דברים שונים!
• רבע לא נכון לזווית — השתמשו ב-atan2 לקבלת זווית נכונה
• שכחת כיוון — העתקה היא וקטורית וחייבת כיוון
• חיבור סקלר לווקטור — אי אפשר לחבר מרחק להעתקה

💡 טיפ מקצועי: בפתרון בעיות פיזיקה תמיד שרטטו תרשים שמראה את המיקום ההתחלתי והסופי. עבור בעיות 3D השתמשו בכלל יד ימין: אגודל (X), אצבע (Y), אמה (Z). זכרו שהעתקה תלויה רק בנקודות ההתחלה והסוף, לא במסלול — לכן הליכה במעגל יכולה לתת העתקה אפס למרות מרחק גדול!